题目

已知a,b,c都是实数,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac

提问时间：2021-03-21

答案

∵a^2+b^2≥2ab,b^2+c^2≥2bc,a^2+c^2≥2ac
(a+b+c)^2 =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=3a²+3b²+3c²
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
∵（a^2+b^2）+（c^2+a^2）+（b^2+c^2）≥2ab+2ac+2bc
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac
∴1/3(a+b+c)^2 =1/3(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)≥1/3(3ab+3bc+3ac)=ab+bc+ac
∴:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac【证毕】