题目
一道微积分习题
lim(x趋向于无穷大)x[(1+1/x)^x-e]
lim(x趋向于无穷大)x[(1+1/x)^x-e]
提问时间:2021-03-21
答案
limx[(1+1/x)^x-e]
=lim[(1+1/x)^x-e]/(1/x)
令x=1/t,则原式化为
lim[(1+t)^(1/t)-e]/t
=lim{e^[(1/t)ln(1+t)]-e}/t
=lim{e^[ln(1+t)/t]-e}/t
=elim{e^[ln(1+t)/t-1]-1}/t (*)
=elim{[ln(1+t)/t]-1}/t
=elim[ln(1+t)-t]/t²(洛必达法则)
=elim[1/(1+t)-1]/(2t)
=elim(-t)/[2t(1+t)]
=-e/2
(*)用的是等价无穷小代换.
e^x-1~x(x→0),令x=ln(1+t)/t-1,因为
lim[ln(1+t)/t-1]
=lim[ln(1+t)-t]/t(洛必达法则)
=lim[1/(1+t)-1]/1
=0
故e^[ln(1+t)/t-1]-1~ln(1+t)/t-1(t→0,即ln(1+t)/t-1→0)
=lim[(1+1/x)^x-e]/(1/x)
令x=1/t,则原式化为
lim[(1+t)^(1/t)-e]/t
=lim{e^[(1/t)ln(1+t)]-e}/t
=lim{e^[ln(1+t)/t]-e}/t
=elim{e^[ln(1+t)/t-1]-1}/t (*)
=elim{[ln(1+t)/t]-1}/t
=elim[ln(1+t)-t]/t²(洛必达法则)
=elim[1/(1+t)-1]/(2t)
=elim(-t)/[2t(1+t)]
=-e/2
(*)用的是等价无穷小代换.
e^x-1~x(x→0),令x=ln(1+t)/t-1,因为
lim[ln(1+t)/t-1]
=lim[ln(1+t)-t]/t(洛必达法则)
=lim[1/(1+t)-1]/1
=0
故e^[ln(1+t)/t-1]-1~ln(1+t)/t-1(t→0,即ln(1+t)/t-1→0)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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