题目
已知数列An的前n项和为Sn,满足Sn=2An-n,(n∈正整数)
(1)求An的通项公式
(2)若数列Bn满足4的(B1-1)次方*4的(B2-1)次方*...*4的(Bn-1)次方=(An+1)的Bn次方,判断Bn是什么数列,说明理由!
(1)求An的通项公式
(2)若数列Bn满足4的(B1-1)次方*4的(B2-1)次方*...*4的(Bn-1)次方=(An+1)的Bn次方,判断Bn是什么数列,说明理由!
提问时间:2021-03-21
答案
Sn=2an - n,
S(n-1)=2a(n-1) - (n-1)
Sn-S(n-1)=an=2an - 2 a(n-1)-1 ,
2a(n-1)=an -1
an +1= 2 [a(n-1)+1],
(an +1)/[a(n-1)+1] = 2
所以(an +1)是公比为2的等比数列.
a1=2a1-1,a1=1,a1 +1=2
an +1= 2*2^(n-1) = 2^n
an = 2^n -1
(2)Bn满足4的(B1-1)次方*4的(B2-1)次方*...*4的(Bn-1)次方=(An+1)的Bn次方
4^[B1+B2+...+Bn-n]=[2^n]^Bn
2^(2(Sn-n))=2^(nBn)
即有:2Sn-2n=nBn
2Sn=nBn+2n
Sn=(2+Bn)*n/2
即{Bn}是一个等差数列.首项是2.
S(n-1)=2a(n-1) - (n-1)
Sn-S(n-1)=an=2an - 2 a(n-1)-1 ,
2a(n-1)=an -1
an +1= 2 [a(n-1)+1],
(an +1)/[a(n-1)+1] = 2
所以(an +1)是公比为2的等比数列.
a1=2a1-1,a1=1,a1 +1=2
an +1= 2*2^(n-1) = 2^n
an = 2^n -1
(2)Bn满足4的(B1-1)次方*4的(B2-1)次方*...*4的(Bn-1)次方=(An+1)的Bn次方
4^[B1+B2+...+Bn-n]=[2^n]^Bn
2^(2(Sn-n))=2^(nBn)
即有:2Sn-2n=nBn
2Sn=nBn+2n
Sn=(2+Bn)*n/2
即{Bn}是一个等差数列.首项是2.
举一反三
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