题目

求所有的正整数m、n,使得1!+2!+···+m!=n的平方

提问时间：2021-03-21

答案

当m=1,n=1
当m=3,n=3
下面证明只有这两组解.
因为m>=5时,m!能被5整除,而1!+2!+3!+4!=33
所以当m>=4时,1!+2!+..m!被5除余数为3.
而任一整数5k,5k±1,5k±2的平方被5除只能余数为0,1,-1.
因此m>=4时无解.