题目

设函数fx=1-x+alnx（a属于r）
1若a=1求fx的最大值
2若x大于等于1时'fx小于等于0求a的取值范围
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提问时间：2021-03-21

答案

1、当a=1时,f(x)=1－x＋lnx,则：f'(x)=(1－x)/(x),即：函数f(x)在(0,1)上递增,在(1,＋∞)上递减,则f(x)的最大值是f(1)=0；
2、当x≥1时,f(x)=1－x＋alnx≤0,即：a≤(x－1)/(lnx)在x≥1时恒成立,设：g(x)=(x－1)/(lnx),则：g'(x)=[xlnx－x＋1]/[x(lnx)²]设：h(x)=xlnx－x＋1,则：h'(x)=lnx.由于x≥1,则h'(x)≥0,即函数h(x)递增,从而h(x)的最小值是h(1)=0,即：h(x)≥0,所以g'(x)≥0在x≥1时恒成立,也就是说函数g(x)是递增的,所以g(x)的最小值是g(1)=1,所以a≤g(x)的最小值即可,得：a≤1