题目

练习卷的一道超难函数题目（在线等）
设函数f(x)=1/2(a^x +a^-x)的图像经过（2,41/9) a>0,a不等于1
求f(x)的解析式
证明f(x)在【0,正无穷大）上是增函数

提问时间：2021-03-21

答案

这题的(1)、(2)问是连着的,第一问不出来,第二问也就做不出来了.
第一问求解的关键在于解方程,而这个方程可能次数比较高,这时可用替代法.
(1)
由题意知：
点（2,41/9)在函数f(x)上,故有：
f(2) =41/9,
即:1/2[a^2 +a^(-2)]= 41/9.
令t =a^2,则：t >=0,
整理后,得：
9t^2 -82t +9=0,
解得：t = 9,或t= 1/9.
又t= a^2,且a>0,a≠1.
故：a= 3,或a= 1/3.
当a= 3时,f(x)=1/2[3^x +3^(-x)];
当a= -3时,f(x)=1/2[3^(-x)+ 3^x];
所以当a =3或a= -3时,f(x)相同.
故：f(x)= 1/2[3^x +3^(-x)].
不知导数你们学了没有.
第2问用导数求比较方便.
(2)
f'(x)=1/2[3^x -3^(-x)] (x >=0);
又当x >0时,3^x>1,
故：3^x >3^(-x),
又当x =0时,3^x= 3^(-x)=1.
故当x >=0时f'(x) >=0,
所以：f(x)在【0,正无穷大）上是增函数.