题目

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[-5，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

提问时间：2021-03-20

答案

（1）∵f（x）=-x2+2x．∴f′（x）=-2x+2．当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0恒成立∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；（2）∵函数f（x）=-x2+2x的图象是开口方向朝下，以直线x=1为对称轴的抛物线∴当x∈[-5，2]时，f（x...

（1）由已知函数的解析式f（x）=-x²+2x，我们易求出函数的导函数的解析式，并分析出当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0恒成立，进而得到f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）由已知函数的解析式f（x）=-x²+2x，我们易判断出函数图象的形状及函数的性质，进而根据二次函数在闭区间上的最值问题，即可求出当x∈[-5，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数单调性的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，（1）中根据函数的解析式，求导函数的解析式是关键，（2）中分析函数图象的形状及函数的性质是关键．