题目

已知函数f(x)=4sin^2(x+π/4）+4√3sin^2x-(1+2√3) x∈R
求函数f(x)的最小正周期和图像的对称中心
求函数f(x)在区间（π/4,π/2]上值域

提问时间：2021-03-20

答案

19．【解析】 依题意得f(x)
＝4sin2(x＋π4)＋43sin2x－(1＋23)
＝2[1－cos(2x＋π2)]－23cos2x－1＝4sin(2x－π3)＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π.
由sin(2x－π3)＝0得2x－π3＝kπ,∴x＝kπ2＋π6,
∴函数f(x)的图象的对称中心是(kπ2＋π6,1)(其中k∈Z)．
(2)当x∈[π4,π2]时,
2x－π3∈[π6,2π3],
sin(2x－π3)∈[12,1],
4sin(2x－π3)＋ 1∈[3,5],
故函数f(x)在区间[π4,π2]上的值域是[3,5]．