题目

数学椭圆与直线
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点（3,-根号5）且方向向量为V=（-2,根号5）的直线l通过椭圆C的右焦点F,且交椭圆C于A,B两点,又AF=2FB,（1）求直线l的方程,(2）求椭圆C 的方程.

提问时间：2021-03-20

答案

方向向量为V=（-2,根号5） k=-根号5/2 过点（3,-根号5）
直线l的方程 y+根号5=-根号5/2 (x-3) y=-根号5/2x+根号5/2
直线l通过椭圆C的右焦点F,
令y=0 x=1
椭圆C右焦点F(1,0) c=1 a^2=b^2+1
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
x^2/(b^2+1)+y^2/b^2=1
y=-根号5/2x+根号5/2 消x得
(9b^2+5)y^2-4根5b^2y-5b^4=0
y1=[4根5b^2+根号(180b^4+180b^6)]/2(9b^2+5)
y2=[4根5b^2-根号(180b^4+180b^6)]/2(9b^2+5)
AF=2FB |y1|=2|y2|
根号[180b^4+180b^6]=3*4根5b^2
b^2=3
b=√3 b^2=3
a^2=4
椭圆C 的方程 x^2/4+y^2/3=1