题目

已知直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx于A、B两点，P为弦AB的中点．OP的斜率为−

1

2

，求此抛物线的方程．

提问时间：2021-03-20

答案

设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
令

y＝1−2x y2＝mx

则4x²-（4+m）x+1=0
∴x1+x2＝

4+m

4

∵y1+y2＝2−2(x1+ x2)＝−

m

2

∴p（

4+m

8

，−

m

4

）
∵OP的斜率为−

1

2

∴

− m 4

4+m 8

＝−

1

2

∴m=

4

3

∴此抛物线的方程为y2＝

4

3

x

要求抛物线的方程即需根据OP的斜率为−

1

2

求M的值即求出p点的坐标即可．由于P为弦AB的中点则结合中点坐标可知需将直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx的方程连立然后根据根与系数的关系求出x₁+x₂再根据A、B两点在直线y=1-2x上求出y₁+y₂即可求出中点p的坐标．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评：此题主要强化了直线与圆锥曲线综合问题的考察．解题的关键是要根据中点坐标公式分析出要将直线l：y=1-2x交抛物线y²=mx的方程连立求出x₁+x₂，这种“设而不求”的解题方法在以后的学习中要多多注意!