题目

求以椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．

提问时间：2021-03-20

答案

椭圆的焦点F₁（-

7

，0），F₂（

7

，0），即为双曲线的顶点．
∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上，
∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点A₁（-4，0），A₂（4，0），∴c=4，a=

7

，
∴b=3，
故所求双曲线的方程为

x2

7

−

y2

9

=1．…（6分）
实轴长为2a=2

7

，虚轴长为2b=6，
离心率e=

c

a

=

4 7

7

，渐近线方程为y=±

3 7

7

x．…（12分）

确定椭圆的焦点、顶点坐标，可得双曲线的顶点、焦点坐标，即可求出双曲线的离心率、渐近线方程．

本题考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．