题目

证明D(X)*sinx不是周期函数.急

提问时间：2021-03-20

答案

D(x)是狄利克雷函数吧,表达式为
D(x)=1 x为有理数
0 x为无理数
因为D(x)以任何有理数作为它的周期,证明如下
对于任意的有理数T,对于任意的x,有
D(x+T)=1 x为有理数
0 x为无理数
主要利用了有理数+有理数=有理数,有理数+无理数=无理数,而无理数不是D(x)的周期
另一方面,sinx以2kπ为周期,2kπ是无理数
所以一个以有理数有周期,一个以无理数为周期的两个函数相乘,不是周期函数,因为此时对于任意的实数T,都不能作为他们乘积的周期!