题目

已知函数f(x)＝

a

3

x3−

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

提问时间：2021-03-19

答案

（Ⅰ）f'（x）=ax²-（a+1）x+1，
由导数的几何意义得f'（2）=5，于是a=3．
由切点P（2，f（2））在直线y=5x-4上可知2+b=6，解得b=4．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x³-2x²+x+4．
（Ⅱ）f′(x)＝ax2−(a+1)x+1＝a(x−

1

a

)(x−1)，
当0＜a＜1时，

1

a

＞1，函数f（x）在区间（-∞，1）及(

1

a

，+∞)上为增函数；
在区间(1，

1

a

)上为减函数；
当a=1时，

1

a

＝1，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数；
当a＞1时，

1

a

＜1，函数f（x）在区间(− ∞，

1

a

)及（1，+∞）上为增函数；
在区间(

1

a

，1)上为减函数．

（1）先求函数f（x）的导数，令f'（2）=5求出a的值，切点P（2，f（2））在函数f（x）和直线y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（2）对f'（x）的解析式因式分解后讨论可得答案．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．