题目

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）²-1，a=1；
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P₁为直角顶点时，点P₁与点B重合；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P₁（1，0）；
②当点A为△AP₂D₂的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD₂=45°；
当∠D₂AP₂=90°时，∠OAP₂=45°，
∴AO平分∠D₂AP₂；
又∵P₂D₂∥y轴，
∴P₂D₂⊥AO，
∴P₂、D₂关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

；
∴y=-x+3；
设D₂（x，-x+3），P₂（x，x²-4x+3），
则有：（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
即x²-5x+6=0；
解得x₁=2，x₂=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x²-4x+3=2²-4×2+3=-1；
∴P₂的坐标为P₂（2，-1）（即为抛物线顶点）．
∴P点坐标为P₁（1，0），P₂（2，-1）；
（3）由（2）知，当P点的坐标为P₁（1，0）时，不能构成平行四边形；
当点P的坐标为P₂（2，-1）（即顶点Q）时，
平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；
∵P（2，-1），
∴可设F（x，1）；
∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

；
∴符合条件的F点有两个，
即F₁（2-

2

，1），F₂（2+

2

，1）．

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；
（3）P、B重合，E点在x轴上，这样A、P、E三点在x轴上，所以A、P、E、F为顶点不可能构成平行四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．