如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式 - 超级试练试题库

题目

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．

（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2及E（2，6），可得C（0，4）．
∴D（0，2）．
由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y=2x+2．
当y=0时，2x+2=0，
解得x=-1．
∴A（-1，0）．
由A（-1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y=-x²+3x+4．
（2）BD⊥AD．
求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA=90°，
即BD⊥AD．
（3）法1：求得M（

，

），AM=

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