题目

已知动点P（x，y）满足|x-1|+|y-a|=1，O为坐标原点，若|

PO

|的最大值的取值范围为[

17

2

，

17

]，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2021-03-19

答案

考虑|x-1|+|y-a|=1的图象，如图，
x必然是在0到2之间
x取到0或2那么y只能取a
x在两者之间y可以取两个值
x取到1则y可以取a+1或a-1，
图象是（0，a），（1，a-1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，
如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）
如果a＜0就是（1，a-1）或（2，a）
这样一来，|

PO

|平方的最大值就是：
当a＞0，（a+1）²+1 或 a²+4
当a＜0，（a-1）²+1 或 a²+4
比较它们的大小：
当a≥1时，（a+1）²+1；
-1＜a＜1时，a²+4；
a≤-1时，（a-1）²+1．
作以上函数图象，再读出y取值范围为[

17

4

，17]时
a取值范围是[−3，−

1

2

]∪[

1

2

，3]．
故答案为：[−3，−

1

2

]∪[

1

2

，3]．

先考虑|x-1|+|y-a|=1的图象，图象是（0，a），（1，a-1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，再对a进行分类讨论，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）；如果a＜0就是（1，a-1）或（2，a）．再分类写出|

PO

|平方的最大值．最后利用分段函数的图象，再读出|

PO

|²取值范围为[

17

4

，17]时，a取值范围．

本题考点：点到直线的距离公式；两点间的距离公式．

考点点评：本题主要考查了方程的曲线、向量的模及函数图象的应用，考查了数形结合思想、分类讨论思想．属于中档题．