题目

对于任意正整数x,y,x^2+2y与y^2+2x中至少有一个不是完全平方数.

提问时间：2021-03-19

答案

假设x*x+2y与y*y+2x全为完全平方数
设x*x+2y=m*m,y*y+2x=n*n
易知m大于x,n大于y
因为x*x+2y+1=m*m+1,y*y+2x+1=n*n+1
两式相加得（x+1）*（x+1）+（y+1）*（y+1）=m*m+n*n+2
所以（x+m+1）*（x-m+1）+（y+n+1）*（y-n+1）=2大于0
由x+m+1,y+n+1＞0,x-m+1,y-n+1≤0
知（x+m+1）*（x-m+1）+（y+n+1）*（y-n+1）≤0,矛盾
原命题得证