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> 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a3+a5=5,又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=5-log2an,数列{bn}的前n项和...
题目
在等比数列{a
n
}中,a
n
>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a
3
+a
5
=5,又a
3
与a
5
的等比中项为2.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=5-log
2
a
n
,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,求数列{S
n
}的通项公式;
(3)设T
n
=
1
S
提问时间:2021-03-19
答案
(1)a
n
>0,∴a
3
+a
5
=5,又a
3
与a
5
的等比中项为2,∴a
3
a
5
=4,而q∈(0,1),
∴a
3
>a
5
,∴a
3
=4,a
5
=1,∴q=
1
2
,a
1
=16,
∴a
n
=16×
(
1
2
)
n−1
=2
5-n
;
(2)b
n
=5-log
2
a
n
=5-(5-n)=n,∴b
n+1
-b
n
=1,
∴{b
n
}是以b
1
=1为首项,1为公差的等差数列.
∴S
n
=
n(n+1)
2
;
(3)由(2)知
1
S
n
=
2
n(n+1)
=2(
1
n
-
1
n+1
)
∴T
n
=
1
S
1
+
1
S
2
++
1
S
n
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)++(
1
n
-
1
n+1
)=2(1-
1
n+1
)=
2n
n+1
;
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