题目

一道关于高等代数（线性代数）方面的基础解系的题目
证明：若a1,a2,a3为Ax=b的基础解系,则a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=b的基础解系
证明：若a1,a2,a3为Ax=b的基础解系，则a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=b的基础解系

提问时间：2021-03-19

答案

基础解系是对齐次线性方程组而言的, 题目应该为:
若a1,a2,a3为Ax=0的基础解系,则a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系
证明一个向量组是基础解系需证:
1. 都是解
2. 线性无关
3. 向量个数达到基础解系所含向量个数, 即 n-r(A)
3'. 任一解向量可由它线性表示
1.由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是解, 所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1都是Ax=0的解
2.由 (a1+a2,a2+a3,a3+a1) = (a1,a2,a3)B
B =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
|B| = 2, 所以B可逆
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1与a1,a2,a3等价
所以 r(a1+a2,a2+a3,a3+a1) = r(a1,a2,a3)=3
故 a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关, 且任一解向量可由它线性表示.
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系.
有问题请消息我或追问
搞定就采纳 ^_^