题目

已知椭圆x2/m+1 +y2=1的两个焦点是F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),设E是直线y=x+2与椭圆的
一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程.

提问时间：2021-03-19

答案

焦点在x轴,
∴√(m+1)>1,
当直线y=x+2与椭圆相交或相切时,才有公共点,而只有一个公共点,即相切时则是|EF1|+|EF2|最小值,
y=x+2,代入椭圆方程,
x^2+(x+2)^2(m+1)=m+1,
(2+m)x^2+4(m+1)x+3(m+1)=0,
当直线和椭圆相交时,判别式△>=0,
16(m+1)^2-4*(2+m)*3(m+1)>=0,
m^2-m-2>=0,
(m-2)(m+1)>=0,
m>=2,或m=2,
∵根据椭圆定义,|EF1|+|EF2|=2a=2√(m+1),
m(min)=2,
∴|EF1|+|EF2|最小为2√3,
∴|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程是:
x^2/3+y^2=1.