题目

高中圆锥曲线数学题!求解!
离心率为（√5+1）/2的双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)上一点P,向以实轴为直径的圆O引两条切线,切点为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于M、N,则b^2/|OM|^2-a^2/|ON|^2=?
求过程

提问时间：2021-03-19

答案

若圆的方程为x²+y²=r^2,点m（x0,y0）在圆外,求证点m关于该圆的切点弦所在的直线方程是x0*x+y0*y=r²
证明：设两个切点为A（x1,y1)、B(x2,y2)
则过A点的切线为 x1x+y1y=r²
过B点的切线为 x2x+y2y=r²
∵两条切线都过点 M（x0,y0)
∴ x1x0+y1y0=r²
x2x0+y2y0=r²
∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r²
∴直线AB的方程是 x0x+y0y=r²
∴设双曲线上的P点（x0,y0),圆的方程是x^2+y^2=a^2
则直线AB的方程是 x0x+y0y=a²
令x=0,ON= y=|a²/y0|,即|yo|=a^2/ON
令y=0 ,OM=x=|a²/x0|,即|xo|=a^2/OM
又P在双曲线上,则有xo^2/a^2-yo^2/b^2=1
即有a^2/OM^2-a^4/(b^2*ON^2)=1
即有b^2/OM^2-a^2/ON^2=b^2/a^2
又e^2=c^2/a^2=1+b^2/a^2=(5+1+2根号5)/4=(3+根号5)/2
即有b^2/a^2=(3+根号5)/2-1=(根号5+1)/2
即有b^2/OM^2-a^2/ON^2=(根号5+1)/2