题目

1)若a/tanA=b/tanB=c/tanC,判断△ABC形状 2)若sin2A+sin2B=1且最大边c=12,求面积最大值

提问时间：2021-03-18

答案

1)由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（三角形外接圆的半径）
a/tanA=b/tanB=c/tanC
所以,sinA/tanA=sinB/tanB=sinC/tanC
即,cosA＝cosB＝cosC
因为,A、B、C都是三角形的内角
所以,A＝B＝C
△ABC为等边三角形
2) sin²A+sin²B=1 (题目应该是平方)
则,sin²B=cos²A
因为,最长边c=12,所以A,B均为锐角
所以,sinB=cosA,B=90°-A
所以,C=90°,△ABC为直角三角形
由勾股定理,得
a²+b²=c²=144
(a-b)²≥0,a²+b²≥2ab
所以,ab≤(a²+b²)/2＝72
S△ABC=ab/2≤(a²+b²)/4＝36
所以,当a=b时,△ABC的面积最大值=36