题目
正方形ABCD的对角线AC上有一点P,连接BP,作PE⊥BP,PE交CD于E,EF∥BC交AB于F,
已知AB=10.
(i)求证:△PBE是等腰直角三角形.
(ii)设AP=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(iii)点P在变化过程中,是否有可能出现△PBE与正方形ABCD的面积比为3∶8?如有可能求出x和y的值,如不可能,请说出理由.
(iv)点P在变化过程中,是否有可能出现△PCE为等腰三角形,如果可能请指出所有可能使△PCE为等腰三角形的点E的位置,并指出相应的x的值,如不可能,请说出理由.
已知AB=10.
(i)求证:△PBE是等腰直角三角形.
(ii)设AP=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;
(iii)点P在变化过程中,是否有可能出现△PBE与正方形ABCD的面积比为3∶8?如有可能求出x和y的值,如不可能,请说出理由.
(iv)点P在变化过程中,是否有可能出现△PCE为等腰三角形,如果可能请指出所有可能使△PCE为等腰三角形的点E的位置,并指出相应的x的值,如不可能,请说出理由.
提问时间:2021-03-18
答案
(1)过点P做PG⊥BC于G,PH⊥DC于H.∵AC平分∠DCB,∴PG=PH..∵∠BPE=90°=∠GPH=90°.∴∠BPG=∠EPH,又∵∠PGB=∠PHE=90°,∴△PGB≌△PHE.(AAS)∴PB=PE..∵∠BPE=90°,∴△PBE是等腰直角三角形
(2)∵EF∥BC,∴BF=CE=y.∵AP=x,∴PC=10根号2-x.,PH=HC=10-1/2根号2倍的x.,HE=10-1/2根号x-y.在直角三角形PDE中,PE²=PH²+HE²,BE²=2PE²=BC²+CE²,∴可求出关系式.
(2)∵EF∥BC,∴BF=CE=y.∵AP=x,∴PC=10根号2-x.,PH=HC=10-1/2根号2倍的x.,HE=10-1/2根号x-y.在直角三角形PDE中,PE²=PH²+HE²,BE²=2PE²=BC²+CE²,∴可求出关系式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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