题目

焦点在y轴的双曲线的推导过程

提问时间：2021-03-18

答案

设点M是焦点在y轴上的双曲线上任意一点,焦距|F1F2|=2c,| |MF1| - |MF2| | =2a,其中c>a>0
那么焦点坐标为下焦点F1(0,-c),上焦点F2(0,c)
所以有：|MF1|=根号[x²+(y+c)²] ,|MF2|=根号[x²+(y-c)²]
则由 |MF1| - |MF2| =±2a可得：
根号[x²+(y+c)²] - 根号[x²+(y-c)²]=±2a
移项得：根号[x²+(y+c)²] =±2a+根号[x²+(y-c)²]
两边平方得：
{根号[x²+(y+c)²]}² ={±2a+根号[x²+(y-c)²]}²
x²+(y+c)²=4a² ± 4a根号[x²+(y-c)²] + x²+(y-c)²
4cy=4a² ± 4a根号[x²+(y-c)²]
cy-a²=± a根号[x²+(y-c)²]
再次两边平方得：
c²y²-2cya²+a的4次幂=a²[x²+(y-c)²]
c²y²-2cya²+a的4次幂=a²x²+a²y²-2cya²c+a²c²
(c²-a²)y²-a²x²=a²c²-a的4次幂
即(c²-a²)y²-a²x²=a²(c²-a²) (*)
由于c>a>0,所以不妨令c²-a²=b²,b>0
上述(*)式可化为：b²y²-a²x²=a²b²
则可得：y²/a² -x²/b²=1
这就是所求的焦点在y轴的双曲线的标准方程.