题目

已知直线m的解析式为y=-

3

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x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P（1，a）为坐标系内一动点．
（1）画出直线m；
（2）求△ABC的面积；
（3）若△ABC与△ABP面积相等，求实数a的值．

提问时间：2021-03-18

答案

（1）令y＝−

3

3

x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（

3

，0），如图所示；
（2）∵点B坐标为（0，1）；点A坐标为（

3

，0）．
∴由勾股定理可得|AB|=2，
∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，∴AB=AC，
所以S_△ABC=

1

2

×2×2=2；
（3）当点P在第四象限时
因为S_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

3

2

a，S_△BOP=

1

2

，
所以 S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

3

2

a-

1

2

=2，
解得a=

3−5 3

3

，
当点P在第一象限时，用类似的方法可得：
以 S_△ABP=S_△POB+S_△APO-S_△AOB=S_△ABC=2，
∴

1

2

+

3

2

a-

3

2

=2，
解得：a=

3

+1．

（1）根据x=0时以及y=0时，求出A、B两点的坐标，即可画出图象；
（2）利用勾股定理得到AB的长；等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半；
（3）实际上给定△ABP的面积，求P点坐标．利用面积和差求△ABP的面积，注意要分类讨论．

本题考点：一次函数综合题；三角形的面积．

考点点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数的性质，会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；会用坐标表示线段；掌握用面积的和差表示不规则图形的面积．