题目

独立的掷10颗骰子,求掷出的点数之和在30到40之间的概率,要用中心极限定理做,Xi为第i颗骰子掷出的点数
着重解释下E（Xi）=7/2,D(Xi)=35/12是怎么得来的?

提问时间：2021-03-18

答案

首先每一次掷骰子都是独立的,所以设Xi (i=1,2···10)为第i次掷骰子的事件.
对于某一次掷骰子Xi,其点数可能为1,2,3,4,5,6,而且概率均为1/6.
所以E(Xi)=pi*xi=1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6 = 21/6 = 7/2
E(Xi)=7/2就是这么来的
D(Xi)=E[Xi-E(Xi)]²=1/6*[(1-7/2)²+(2-7/2)²+(3-7/2)²+(4-7/2)²+(5-7/2)²+(6-7/2)²] = 35/12
这些都是根据期望和方差的定义来进行计算的~~
下面从中心极限定理的角度来解释一下这道题：（X拔写成Xb）
P{30<=ΣXi<40} = P{3<=Xb<4} = P{Xb<4} - P{Xb<3}
中心极限定理,(Xb-μ)/σ√n ~ N(1,0),则
P = P{(Xb-3.5)/√(35/12)√6<(4-3.5)/√(35/12)√6} - P{(Xb-3.5)/√(35/12)√6<(3-3.5)/√(35/12)√6}
=Φ(0.72) - Φ(-0.72) = 2Φ(0.72) -1 = 2*0.7642-1 = 0.5284