题目

确定所有非负整数对﹙x,y﹚,使得﹙xy－7﹚²＝x²＋y²

提问时间：2021-03-18

答案

不妨设x ≥ y.
首先对y = 0, 代入得x = 7.
对y = 1, x无整数解.
对y = 2, x无整数解.
对y = 3, 解得x = 4 (x = 5/4不是整数, 舍去).
若x ≥ y ≥ 4, 我们证明等式不能成立.
由(x-y)² ≥ 0有不等式x²+y² ≥ 2xy.
于是x²+y² = (xy-7)² = x²y²-14xy+49 ≥ x²y²-7x²-7y²+49, 即x²y²-8x²-8y²+49 ≤ 0.
整理得(x²-8)(y²-8) ≤ 15, 但由x ≥ y ≥ 4, 有x²-8 ≥ y²-8 ≥ 8得(x²-8)(y²-8) ≥ 64, 矛盾.
于是方程只有(0,7), (7,0), (3,4), (4,3)四组非负整数解.