题目

y=2cosx+2sinx+sinxcosx+1的值域

提问时间：2021-03-18

答案

y=2(sinx+cosx)+sinxcosx+1,
因为：(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx；
所以：sinxcosx=[(sinx+cosx)²-1]/2
所以：y=2(sinx+cosx)+1/2(sinx+cosx)²+1/2
设sinx+cosx=t,则t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4),所以-√2≦t≦√2
则原式化为：y=1/2t²+2t+1/2=1/2(t+2)²-3/2
所以当t=-√2时,y取得最小值=3/2-2√2
　　当t=√2时,y取得最大值=3/2+2√2
所以值域为：[3/2-2√2,3/2+2√2]