题目

凸多边形的每一个内角都小于180°,那么凸多边形中最多可以有几个钝角,几个锐角,几个直角呢?

提问时间：2021-03-18

答案

凸n边形最多可以有n个钝角,最多3个锐角,最多4个直角.理由如下：
凸n边形的内角和为（n－2）·180º.
（1）若要使各角均为钝角,则
（n－2）·180＞90n,解得 n＞4
所以,当边数n大于或等于5时,最多可达n个钝角.（但四边形最多可以有3个钝角,三角形最多只有1个钝角.）
（2）若要使各角均为锐角,则
（n－2）·180＜90n,解得 n＜4
所以,当边数n等于3时,最多可达n个锐角,即也就说只有三角形可以全部为锐角.
当n≥4时,n边形最多有几个锐角呢?
我们不妨设最多有x个锐角,则其余的必为钝角,其个数为（n－x）,
（n－2）·180＜90x＋（n－x）·180,解得 x＜4
所以,当边数大于或等于4时,最多可以有3个锐角.
综上所述,任意凸n边形最多可以有3个锐角.
（3）若要使各角均为直角,则
（n－2）·180＝90n,解得 n＝4
所以,四边形最多可以全部为直角.
众所周知,三角形最多只有1个直角.那么,当边数n≥5时,最多有几个直角呢?不妨设最多有y个直角,则其余的必为钝角,其个数为（n－y）,
（n－2）·180＜90y＋（n－y）·180,解得 y＜4
所以,当边数大于或等于5时,最多只可以有3个直角.
综上所述,凸多边形最多可以有4个直角.