题目
在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)
(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
提问时间:2021-03-18
答案
(1)设{nan}数列的前n项和为Sn,则
Sn=a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)=2n^2+n
所以
S(n-1)=(n-1)[2(n-1)+1]
=2n^2-3n+1
所以
nan=Sn-S(n-1)
=4n-1
所以an=-1/n+4(n∈N+)
(2)由(1)得
nan=4n-1
所以
nan/(2^n)=4×n/(2^n)-1/(2^n)
所以
Tn=4[1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)]-[1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)]
令Fn=1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)
Gn=(1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)则
1/2Fn=1/(2^2)+2/(2^3)+3/(2^4)+.+(n-1)/(2^n)+n/[2^(n+1)]
Fn-1/2Fn=1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)-n/[2^(n+1)]
即
1/2Fn=-(2+n)/[2^(n+1)]+1
Fn=-(2+n)/(2^n)+2
Gn=1-1/(2^n)
所以
Tn=4Fn-Gn
=-(4n+7)/(2^n)+7
当n=1时,
T1=3/2=a1/2=4/2-1/2=3/2
所以
Tn=-(4n+7)/(2^n)+7(n∈N+)
Sn=a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)=2n^2+n
所以
S(n-1)=(n-1)[2(n-1)+1]
=2n^2-3n+1
所以
nan=Sn-S(n-1)
=4n-1
所以an=-1/n+4(n∈N+)
(2)由(1)得
nan=4n-1
所以
nan/(2^n)=4×n/(2^n)-1/(2^n)
所以
Tn=4[1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)]-[1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)]
令Fn=1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)
Gn=(1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)则
1/2Fn=1/(2^2)+2/(2^3)+3/(2^4)+.+(n-1)/(2^n)+n/[2^(n+1)]
Fn-1/2Fn=1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)-n/[2^(n+1)]
即
1/2Fn=-(2+n)/[2^(n+1)]+1
Fn=-(2+n)/(2^n)+2
Gn=1-1/(2^n)
所以
Tn=4Fn-Gn
=-(4n+7)/(2^n)+7
当n=1时,
T1=3/2=a1/2=4/2-1/2=3/2
所以
Tn=-(4n+7)/(2^n)+7(n∈N+)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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