题目

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.（2）从圆C外一点P（x1,y1）向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且▕PM▕=▕PO▕,求使得▕PM▕取得最小值的点P的坐标.

提问时间：2021-03-18

答案

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.（2）从圆C外一点P（x₁,y₂）向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点且︱PM︱=︱PO︱求使得︱PM︱取得最小值的点P的坐标.
圆：(x+1)²+(y-2)²=2；圆心C(-1,2)；半径R=√2.
(1)设切线方程为x+y=a,即x+y-a=0,圆心到切线的距离d=︱-1+2-a︱/√2=r=√2
即有1-a=±2,故a=-1或3,故切线方程为x+y=-1或x+y=3.
再设切线方程为x-y-b=0,这时d=︱-1-2-b︱/√2=√2
即有3+b=±2,b=-1或-5,故切线方程还可为x-y=-1或x-y=-5.
故在x,y上的截距相等的切线可作四条：
①x+y=-1；②x+y=3；③x-y=-1；④x-y=-5.
(2)PM²=PC²-R²=(x₁+1)²+(y₁-2)²-2=x²₁+y²₁=PO²
化简得 2x₁-4y₁+3=0.(1)
由(1)得x₁=2y₁-3/2,故PM²=PO²=x²₁+y²₁=(2y₁-3/2)²+y²₁=5y²₁-6y₁+9/4
=5(y²₁-6y₁/5)+9/4=5[(y₁-3/5)²-9/25]+9/4=5[(y₁-3/5)²+9/20≧9/20
当y₁=3/5时等号成立,此时x₁=6/5-3/2=-3/10.
即当P点坐标为(-3/10,3/5)时,︱PM▕=︱PO▕,且︱PM︱获得最小值3(√20)/20.