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题目
计算tan(π/7)tan(2π/7)tan(3π/7)
话说要用韦达定理唉……= =

提问时间:2021-03-18

答案
求tanл/7tan2л/7tan3л/7的值.
解法一:
设k∈{1,2,3},令θ=kπ/7,tan3θ+tan4θ=0
(tanθ+tan2θ)/(1-tanθtan2θ)+2tan2θ/[1-(tan2θ)^2]=0
tanθ+3tan2θ-3tanθ*(tan2θ)^2-(tan2θ)^3=0
令tanθ=x,x+6x/(1-x^2)-12*x^3/(1-x^2)^2-8*x^3/(1-x^2)^3=0
(1-x^2)^3+6*(1-x^2)^2-12*x^2*(1-x^2)-8*x^2=0
x^6-21x^4+35x^2-7=0
(tanθ)^2=(tankπ/7)^2为方程y^3-21y^2+35y-7=0三个根
(tanπ/7)^2*(tan2π/7)^2*(tan3π/7)^2=7
tanπ/7tan2π/7tan3π/7=√7
解法二:原式=tanл/7tan2л/7tan3л/7
=(sinл/7sin2л/7sin3л/7)/( cosл/7cos2л/7cos3л/7)
以下分为分子、分母两部分来求值.先求分母的值:
分母=cosл/7cos2л/7cos3л/7
=-cosл/7cos2л/7cos4л/7
=-(2sinл/7cosл/7cos2л/7cos4л/7)/ 2sinл/7
=-(2sin2л/7cos2л/7cos4л/7)/ 4sinл/7
=-(2sin4л/7cos4л/7)/ 8sinл/7
=-sin8л/7/ 8sinл/7=sinл/7/ 8sinл/7=1/8
再求分子:设t=(sinл/7sin2л/7sin3л/7)
则t2=(sinл/7sin2л/7sin3л/7)2
t2=sin2л/7sin22л/7sin23л/7
∴8t2=(1- cos2л/7)( 1- cos4л/7)( 1- cos6л/7)
=1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)- cos2л/7cos4л/7 cos6л/7
+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)
=1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)+ cosл/7cos2л/7cos4л/7
+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)
=3/8-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)
而cos2л/7+ cos4л/7+cos6л/7
=(2sinл/7cos2л/7+ 2sinл/7cos4л/7+2sinл/7cos6л/7)/ 2sinл/7
=(sin3л/7-sinл/7+ sin5л/7-sin3л/7+ sinл-sin5л/7)/ 2sinл/7
=-sinл/7/2sinл/7
=-1/2
∴8t^2=7/8,又t>0
∴t=√7/8,∴tanл/7tan2л/7tan3л/7=√7
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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