题目

如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．

（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．

提问时间：2021-03-17

答案

（1）证明：∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中：

AE＝CD ∠BAC＝∠ AB＝AC

ACB
∴△BAE≌△ACD
（2）答：BP=2PQ．
证明：∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

（1）根据SAS定理，即可判断两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．