题目

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AE是角平分线，交CD于F，FM∥AB且交BC于M，则CE与MB的大小关系怎样？证明你的结论．

提问时间：2021-03-17

答案

证明：∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，
过点M作MN∥AE，
∴∠BAE=∠BNM，
∴∠CAE=∠BNM，
又∵FM∥AB，
∴四边形ANMF是平行四边形，
∴AF=MN，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACF+∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACF，
在△ACF和△NBM中，

∠CAE＝∠BNM ∠B＝∠ACF AF＝MN

，
∴△ACF≌△NBM（AAS），
∴CF=MB，
∴CE=MB．

根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据等角的余角相等求出∠AEC=∠AFD，然后求出∠AEC=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，过点M作MN∥AE，根据两直线平行，同位角相等可得∠BAE=∠BNM，从而得到∠CAE=∠BNM，再判断出四边形ANMF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AF=MN，再求出∠B=∠ACF，然后利用“角角边”证明△ACF和△NBM全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=MB，从而得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等角的余角相等，等角对等边的性质，熟记各性质并作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．