题目
已知三角形ABC中,根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3
(1)求角C的大小
(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2,且三角形ABC是锐角三角形,求a^2+b^2的取值范围
(1)求角C的大小
(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2,且三角形ABC是锐角三角形,求a^2+b^2的取值范围
提问时间:2021-03-17
答案
1)
根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3
tanA+tanB=根号3(tanAtanB-1)
tan(A+B) =(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=根号3*(tanAtanB-1)/(1-tanAtanB)
=-根号3
A+B ∈(0,π)
A+B =120°
C=60°
2)根据余弦定理
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2
a^2+b^2-c^2=ab
设A=60+β B=60-β β属于(-30°,30°)
a/sinA=b/sinB=c/sinc=2/根号3/2=4根号3/3
a^2+b^2=(4根号3 sinA)²+(4根号3 sinB)²=16/3 (sin²A+sin²B)
=16/3 (1-cos2A+1-cos2B)/2
=8/3(2-cos(120+2β)-cos(120-2β))
=8/3(2-cos120cos2β+sin120sin2β-cos120cos2β-sin120sin2β)
=8/3(2-2cos120cos2β)
=16/3(1+cos2β)
cos2β属于(1/2,1]
所以1+cos2β∈(3/2,2]
a^2+b^2∈(8,32/3]
根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3
tanA+tanB=根号3(tanAtanB-1)
tan(A+B) =(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=根号3*(tanAtanB-1)/(1-tanAtanB)
=-根号3
A+B ∈(0,π)
A+B =120°
C=60°
2)根据余弦定理
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2
a^2+b^2-c^2=ab
设A=60+β B=60-β β属于(-30°,30°)
a/sinA=b/sinB=c/sinc=2/根号3/2=4根号3/3
a^2+b^2=(4根号3 sinA)²+(4根号3 sinB)²=16/3 (sin²A+sin²B)
=16/3 (1-cos2A+1-cos2B)/2
=8/3(2-cos(120+2β)-cos(120-2β))
=8/3(2-cos120cos2β+sin120sin2β-cos120cos2β-sin120sin2β)
=8/3(2-2cos120cos2β)
=16/3(1+cos2β)
cos2β属于(1/2,1]
所以1+cos2β∈(3/2,2]
a^2+b^2∈(8,32/3]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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