题目

已知

a

＝(cosx，2

3

cosx)，

b

＝(2cosx，sinx)，且f（x）=

a

•

b

．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范围．

提问时间：2021-03-17

答案

（I）f（x）=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x+

π

6

）+1，故函数的周期为π．
令  2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-

1

2

，B=

2π

3

，∴f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1．
由于 0＜A＜

π

3

，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

5π

6

，＜

1

2

sin（2A+

π

6

）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范围为（2，3]．

（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

）+1，从而求得它的周期．再由
2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-

1

2

，B=

2π

3

 得到 f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1，根据A的范围，
求出 2A+

π

6

 的范围，可得sin（2A+

π

6

）的范围，从而求得f（A）的取值范围．

本题考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．

考点点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦定理的应用，属于中档题．