题目

如图,对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6,0）和B（0,4）． （1）求抛物线解析式及
在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD．
（1）求B的坐标；
（2）当点P运动到点（ √3,0）时,求此时点D的坐标；
（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于（√3）/4 ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
如图,对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（-6,0）和B（0,4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x,y）是抛物线第四象限上一动点,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求▱OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围；
①当OEAF的面积为24时,平判断OEAF是否是菱形
②是否存在点E是OEAF为正方形,求点E坐标.

提问时间：2021-03-17

答案

（1）因为抛物线的对称轴是x=72,
设解析式为y=a（x-72）2+k．
把A,B两点坐标代入上式,得 {a(6-72)2+k=0a(0-72)2+k=4,
解得a=23,k=-256．
故抛物线解析式为y=23（x-72）2-256,顶点为（ 72,-256）．
（2）∵点E（x,y）在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y=23（x-72）2-256,
∴y＜0,
即-y＞0,-y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线,
∴S=2S△OAE=2×12×OA•|y|=-6y=-4（x-72）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1,0）和（6,0）,
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意,当S=24时,即-4（x-72）2+25=24．
化简,得（x-72）2=14．
解得x1=3,x2=4．
故所求的点E有两个,
分别为E1（3,-4）,E2（4,-4）,
点E1（3,-4）满足OE=AE,
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4,-4）不满足OE=AE,
所以平行四边形OEAF不是菱形；
∴不一定,由S=24可角得x=3或x=4,当时x=3是菱形,当x=4时不是菱形．
② 当OA⊥EF,且OA = EF时, 是正方形,此时点E的
坐标只能是（3,－3）．
而坐标为（3,－3）的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,
使 为正方形