题目

在中学阶段,对许多特定集合（如实数集、复数集以及平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）
和研究运算律为主要内容．现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为⊙,对于A中的任意两个元素α=（a,b）,β=（c,d）,规定：α⊙β=（ad+bc,bd-ac）．
（3）若“A中的元素I=（x,y）”是“对∀α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立”的充要条件,试求出元素I．

第3题的答案是：（3）设A中的元素I=（x,y）,由（2）知：
对∀α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,
只需I⊙a=a,即（x,y）⊙（a,b）=（a,b）⇔（bx+ay,by-ax）=（a,b）
①若a=（0,0）,显然有I⊙α=α成立,
②若a≠（0,0）,则
bx+ay=a-ax+by=b
,解得
x=0y=1
,
∴当对∀α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立时,得I=（0,0）或I=（0,1）,
易验证当I=（0,0）或I=（0,1）时,有对∀α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立
∴I=（0,0）或I=（0,1）．
为什么要讨论a=（0,0）的情况,而且l=（0,0)不是不满足吗?

提问时间：2021-03-17

答案