题目

设函数y=fx,当x>0时,fx>1,且对任意x1,x2属于R满足f(x1+x2)=f(x1)f(x2),当x1≠x2时,fx1≠fx2
判断函数y=fx(x属于R)的单调性,并证明

提问时间：2021-03-17

答案

首先,判定f(0)=1,因为f(x+0)=f(x)f(0),对x>0,f(x)>1,所以必有f(0)=1
然后,判定任意给定x in R,f(x)>0,只需判定x0即可
我们可以选者y1,y2,使y2>y1>0,且y2+x=y1,
此时有f(y1)=f(y2+x)=f(y2)f(x)>1,所以f(x)>0
最后,证明单调性,任意x10,x1+t=x2
有f(x2)=f(x1+t)=f(x1)f(t)>f(x1),（因为f(t)>1)
所以,f(x)单调增
这里的条件 当x1≠x2时,fx1≠fx2是多余的