题目

如图已知点A （-2,4）和点B （1,0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

提问时间：2021-03-17

答案

抛物线是：y=mx²+2mx+n吧?
（1）点A （-2,4）和点B （1,0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上
∴4m－4m＋n=4
m＋2m＋n=0 解这个方程组得 m=－4／3,n=4
抛物线是：y=－4x²／3－8x／3＋4即y=﹣4﹙x＋1﹚²／3＋16／3
(2)向右平移 ∴AA'∥x轴
∵四边形A A′B′B为菱形∴AA‘=AB=√﹙3²＋4²﹚=5
∴平移后抛物线的表达式为：y=﹣4﹙x＋1－5﹚²／3＋16／3
即y=﹣4﹙x－4﹚²／3＋16／3
对称轴：直线x=4
（3）平移后B’（6,0）
设直线AB‘的表达式：y=kx＋b
∴﹣2k＋b=4
6k＋b=0 ∴k=﹣½ ,b=3 ∴直线AB‘的表达式：y=﹣½x＋3
∴当x=4时,y=1 ∴C(4,1)
∴AC=√﹙3²＋5²﹚=√34,B'C=√﹙1²＋2²﹚=√5
在⊿ABB'中AB=5=BB’ ∴∠A=∠B‘
∴要使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．只能是
1.⊿BAC ∽⊿CB'D ∴CB'∶BA=B'D∶AC 即√5∶5=B’D∶√34 ∴B‘D=√170／5
∴OD=OB’－B‘D=6－ √170／5 ∴D﹙6－ √170／5 ,0﹚
2.⊿BAC∽⊿DB'C ∴B’D∶AB=B‘C∶AC 即B’D∶5=√5∶√34 ∴B‘D=5√170／34
∴OD=6－5√170／34 ∴D﹙6－5√170／34 ,0﹚