题目

⑴设O为△ABC重心,AB=2,AC=3,求向量AO·BC ⑵设O为△ABC内心,AB=2,AC=3,BC=4,求向量AO·BC

提问时间：2021-03-17

答案

过程省略向量2字：
1
设BC边中点为D,O是重心,则：AD=(AB+AC)/2,而：AO=2AD/3
故：AO=(AB+AC)/3,又：BC=AC-AB,故：AO·BC=(1/3)(AB+AC)·(AC-AB)
=(1/3)(|AC|^2-|AB|^2)=(9-4)/3=5/3
2
O是内心,则存在关系：aOA+bOB+cOC=0,即：aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)
=(a+b+c)OA+bAB+cAC=9OA+3AB+2AC=0,故：AO=AB/3+2AC/9.而：BC=AC-AB
故：AO·BC=(AB/3+2AC/9)·(AC-AB)=2|AC|^2/9-|AB|^2/3+AB·AC/3-2AB·AC/9
=2*9/9-4/3+(1/9)|AB|*|AC|*cosA=2/3+(2/3)cosA,而由余弦定理：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(9+4-16)/12=-1/4,故：AO·BC=2/3+(2/3)*(-1/4)=1/2