题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁=-1，S_n+1+2S_n=-1（n∈N^*），数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-4（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在圆心在x轴上的圆C及互不相等的正整数n、m、k，使得三点A_n（b_n，a_n），A_m（b_m，a_m），A_k（b_k，a_k）落在圆C上？请说明理由．

提问时间：2021-03-16

答案

（I）∵S_n+1+2S_n=-1，∴S_n+2+2S_n+1=-1，
两式相减整理得a_n+2=-2a_n+1，
又a₁=S₁=-1，a₂=-2a₁，
∴数列{a_n}是首项为-1，公比为-2的等比数列，
其通项公式是a_n=-（-2）^n-1（n∈N^*）．
假设点列{A_n（b_n，a_n）}中存在三点A_n（3n-4，-（-2）^n-1），A_m（3m-4，-（-2）^n-1），A_k（3k-4，-（-2）^k-1）（n＞m＞k≥1）落在圆C上．
因圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x²+y²+Dx+F=0．…（10分）
从而9n²-24n+16+4^n-1+（3n-4）D+F=0    ①
9m²-24m+16+4^m-1+（3m-4）D+F=0        ②
9k²-24k+16+4^k-1+（3k-4）D+F=0          ③
由①-②，②-③得9（n+m）（n-m）-24（n-m）+（4^n-1-4^m-1）+3（n-m）D=0 ④
9（m+k）（m-k）-24（m-k）+（4^m-1-4^k-1）+3（m-k）D=0        ⑤
由④-⑤整理得9（n-k）+

4k−1

(n−m)(m+k)

[

1

(m−k)(n−k)

•(

4n−k

n−k

−

4m−k

m−k

)+（n-m）]=0，
∵n＞m＞k≥1，∴设函数f（x）=

4x

x

，（x≥1），由f′（x）=

4x(xlnx−1)

x2

＞0，
知函数f（x）=

4x

x

，（x≥1），是增函数．产生矛盾．
故点列{A_n（b_n，a_n）}中不存在三点落在圆C上．

（I）S_n+1+2S_n=-1，再写一式S_n+2+2S_n+1=-1，两式相减整理得a_n+2=-2a_n+1从而可知数列{a_n}是首项为-1，公比为-2的等比数列，故可求其通项公式
（II）假设存在，利用圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x²+y²+Dx+F=0，代入化简可证．

本题考点：数列递推式．

考点点评：本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列和函数的综合应用，运算量较大，综合性较强，是个难题．