题目

高中数学-三角函数一填空题
三角形ABC内,角A,B,C对应边a,b,c.若ABC面积为S=a^2 -(b-c)^2 ,则tanA/2=___________?

提问时间：2021-03-16

答案

tan(A/2)=[sin(A/2)]/[cos(A/2)]=[2sin(A/2)*cos(A/2)]÷[2cos(A/2)*cos(A/2)-1+1]=sinA/(cosA+1)
S=a^2 -(b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc 又 S=(bcsinA)/2
所以a^2-b^2-c^2+2bc=(bcsinA)/2 ---(1)
据余弦定理 2bc*cosA=b^2+c^2-a^2 代入（1）式有
2bc*(1-cosA)=(bcsinA)/2 即 4*(1-cosA)=sinA 左右平方得
16-32cosA+16cosA*cosA=1-cosA*cosA 解得cosA=15/17 cosA=1(舍去）
所以 sinA=8/17 sinA=-8/17(舍去）
tan(A/2)=sinA/(cosA+1)=(8/17)÷(15/17+1)=1/4=0.25