题目

设a0=1,an+1= an+1/an,求证,lim(an/√(2n))=1谢了

提问时间：2021-03-16

答案

关注.有难度.
证明：首先注意到函数f(x)=x+1/x 当x≥1时是递增的.显然an≥1,因此容易证明an≥√(2n),事实上,n=0,1时an≥√(2n)显然成立；假设对于n=k≥1,an≥√(2n)成立,那么对于n=k+1,ak+1= ak+1/ak≥√(2k)+1/√(2k)== (2k+1)/√(2k) ≥√(2k+1),即对于n=k+1,an≥√(2n)也成立,故an≥√(2n),恒成立.下面证明 an≤√(2n)+1.用归纳法.当n=0,1时,an≤√(2n)+1.显然成立；假设对于n=k≥1,an≤√(2n)+1成立,那么对于n=k+1,注意到1/(1+√(2k))