题目

若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹是（　　）
A. 一条线段
B. 一个点
C. 一段圆弧
D. 抛物线的一段

提问时间：2021-03-16

答案

设点P到三个面的距离分别是d₁，d₂，d₃
因为正三棱锥的体积为定值，所以d₁+d₂+d₃为定值，
因为d₁，d₂，d₃成等差数列，
所以d₁+d₃=2d₂
∴d₂为定值，
所以点P的轨迹是平行BC的线段．
故选A．

根据正四面体的体积为定值，可知P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离和为定值，又P到三棱锥S-ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列，故P到侧面SBC的距离为定值，从而得解．

本题考点：等差数列的性质；抛物线的定义．

考点点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P到侧面SBC的距离为定值．