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题目
设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下命题:
①若m=1,则S={1};
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1;
③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0;
④若-
1
2
≤m≤0,则0≤l≤4.
其中所有正确命题的序号是______.

提问时间:2021-03-16

答案
由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:
当x∈S时,有x2∈S知,符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,
惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2≥m,
符合条件的l的值一定大于等于0,小于等于1,
惟如此才能保证l∈S时,有l2∈S即l2≤l,正对各个命题进行判断:
对于①m=1,m2=1∈S故必有
l2≤l
l≥1

可得l=1,S={1},
②m=-
1
2
,m2=
1
4
∈S则
l2≤l
1
4
≥l

解之可:
1
4
≤l≤1;
对于③若l=
1
2
,则
1
2
≥m
1
2
m2

解之可得-
2
2
≤m≤0,
由符合条件的l的值一定大于等于0,小于等于1,可知④错误,
故正确命题的序号为:①②③.
故答案为:①②③
根据题中条件:“当x∈S时,有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可:对于①m=1,得
l2≤l
l≥1
,②m=-
1
2
,则
l2≤l
1
4
≥l
对于③若l=
1
2
,则
1
2
≥m
1
2
m2
,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.

元素与集合关系的判断.

本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.

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