题目

已知正方形ABCD(逆时针排列),顶点A(-2,1).B(1,0),求对角线方程

提问时间：2021-03-16

答案

已知A(-2,1).B(1,0),设正方形两对角线交于点P,则：
直线AB的斜率k=(1-0)/(-2-1)=-1/3
由直线的点斜式方程得：
y-0=-1/3 *(x-1)
即x+3y-1=0
这就是直线AB的方程
所以线段AB的垂直平分线方程可写为3x-y+m=0
又易知线段AB中点坐标为M(-1/2,1/2),代入方程,解得：
m＝－3*（－1/2）+1/2=2
线段AB的垂直平分线方程为3x-y+2=0
由于此垂直平分线过点P
故可设点P坐标为(a,3a+2)
则点P到直线AB:x+3y-1=0的距离：
d＝| a+9a+6-1 |/√10=| 10a+5 |/√10
又正方形边长AB=√[(-2-1)² +(1-0)²]=√10
且易知点P到边AB的距离等于正方形边长的一半
所以| 10a+5 |/√10＝√10/2
即| 10a+5 |＝5
| 2a+1 |＝1
解得a=0或a＝-1(不合题意,舍去)
所以点P坐标为(0,2)
则对角线AP的斜率k(AP)=(2-1)/(0+2)=1/2
对角线BP的斜率k(BP)=(2-0)/(0-1)=-2
由于直线AP.BP均过点P(0,2),所以它们在y轴上的截距都是2
由直线的斜截式方程分别得到：
对角线AP的方程为：y＝1/2 *x+2
对角线BP的方程为：y=-2x+2