题目

设MN是双曲线（x^2）/4-（y^2）/3=1的弦,且MN与x轴垂直,A1、A2是双曲线的左、右顶点.
（1）求直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程；
（2）设直线y=x-1与轨迹C交于A,B两点,若轨迹C上的点P满足向量OP=λOA+μOB,求证λ^2+μ^2-(10λμ)/7为定值,并求出这个定值.

提问时间：2021-03-16

答案

1, 设M(x0,y0),N(x0,-y0),交点(x,y)
A1N:y=y0(x+2)/(x0+2)
A2N:y=y0(x-2)/(2-x0)
交点 :(4/x0,2y0/x0)
即4/x0=x,2y0/x0=y
得到x0=4/x,y0=2y/x
代入椭圆
得到x²/4+y²/3=1①
2,已知:y=x-1②,设A(x1,y1)B(x2,y2那么由
P(n,m)
向量OP=λOA+μOB
n=λx1+μx2,m=λy1+μy2
代入C方程
3(λ²x1²+μx2²+2λμx1x2)+4(λ²y1²+μ²y2²+2λμy1y2)=12
其中:3x1²+4y1²=12,3x2²+4y2²=12
那么易得:λ²+μ²-10λμ/7=1
其实就是化简问题~
落款：凝影