题目

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

提问时间：2021-03-16

答案

（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1．（1分）
当a＞1时，x＞0；（2分）
当0＜a＜1时，x＜0．（3分）
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）当a＞1时，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
则ax1＜ax2，所以ax1−1＜ax2−1．（6分）
因为a＞1，所以loga(ax1−1)＜loga(ax2−1)，即f（x₁）＜f（x₂）．（8分）
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．（9分）
当0＜a＜1时，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
则ax1＞ax2，所以ax1−1＞ax2−1．（11分）
因为0＜a＜1，所以loga(ax1−1)＜loga(ax2−1)，即f（x₁）＜f（x₂）．（13分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，0）上也是增函数．（14分）