题目

一道关于间断点的高数题目~
设f(x)=arcsin(x-1)/(x^2-1),则x=1是f(x)的____间断点.
自我感觉这道题应该先对x=1求左右极限,再分情况判断,但是求其左右极限太难求,书本上的答案是直接求x=1时的极限,其极限为1/2,是否能说明函数的左右极限都存在且相等都为1/2,如果这样的话,那所有题直接先求其极限（不求左右极限）不就可以了?那什么情况需要先求其左右极限?我很迷惑,

提问时间：2021-03-15

答案

判断连续间断都得先求左右极限的,及在该点的函数值.左右存在且相等,而且等函数值,连续；左右存在且相等,但不等于函数值,可去间断点；左右存在不相等,跳跃间断点.以上为第一类间断点.左右有一个不存在,及为第二类间断点,这里要重点考虑分母等于零的情况,它是第二类间断点中的无穷间断点,容易遗忘出错,另外一个就是震荡间断点,这个涉及到高数的周期性.针对分开求左右极限,因为有时该间断点不能满足左右极限的同时存在,左右极限存在且相等才是该点的极限.楼主你所说的直接求该点的极限,其实是你自己默认了该点极限的存在性.